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2020年吉林省考备考: 几何中的极值问题

2020-03-03 13:58:59 事业单位考试网 http://airspringsri.com/ 文章来源:吉林华图

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2020年吉林省考备考: 几何中的极值问题

  几何问题在公考中出现的频率相当高,一方面在考题中经常会出现问最多、最大等极值问题,另一方面,在几何问题中用极值的思维解题会大大提高解题效率,今天我们就来看一下几何题中的极值如何运用。

全天北京pk10实时计划   几何中的极值问题通常有三种类型:

  (1)利用几何特性求极值

  (2)利用图形分析求极值

  (3)利用极端假设求极值

  下面我们分别了解一下:

  一、利用几何特性求极值

  例题详解

  【例1】相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体,其中体积最大的是?( )

  A. 四面体B. 六面体

  C. 正十二面体D. 正二十面体

  【答案】D

全天北京pk10实时计划   【解析】根据几何的最值理论:立体图形中,若表面积一定,越接近于球,体积越大。四个选项中,正二十面体最接近球形,因此体积最大,答案选D

  总结:常用的几何最值理论有

  平面图形中,若周长一定,越接近于圆,面积越大;

  平面图形中,若面积一定,越接近于圆,周长越小;

  立体图形中,若表面积一定,越接近于球,体积越大;

  立体图形中,若体积一定,越接近于球,表面积越小。

  二、利用图形分析求极值

  例题详解

  【例2】现要在一块长25公里、宽8公里的长方形区域内设置哨塔,每个哨塔的监视半径为5公里,如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到,则至少需要设置多少个哨塔? ( )

  A. 4B. 5

  C. 6D. 7

  【答案】B

全天北京pk10实时计划   【解析】用哨塔覆盖长方形区域,即用圆覆盖长方形,想要圆最少,则每个圆形覆盖的长方形面积应该尽可能大,且圆和圆之间的衔接面积尽量小,所以覆盖方式如下图,圆的直径为10,长方形宽8,根据勾股定理每个圆覆盖的长方形的长度为6,25÷6=4…1,所以需要五个圆进行覆盖,即五个哨塔,答案选择B。

全天北京pk10实时计划   【例3】(2018年国考)将一块长24厘米,宽16厘米的木板分割成一个正方形和两个相同的圆形,其余部分弃去不用。在弃去不用的部分面积最小的情况下,圆的半径为多少厘米? ( )

全天北京pk10实时计划   A. 2√2B. 4

全天北京pk10实时计划   C. 3√2D. 8

  【答案】B

  【解析】将木板切割,丢弃面积最小的情况下,因为正方形没有丢弃的部分,所以正方形的面积要尽量大,正方形最大能切割成边长16cm,即和整体长方形的宽一样。所以切割完正方形之后,剩下的面积为长为24-16=8cm,宽为16cm的新长方形。此时切割圆,圆的面积尽量大,则两个圆相切且与长方体的边相切,切割方式如图。此时的圆的半径为8÷2=4cm,答案选择B。

  总结:几何计算过程中求极值,需要分析几何图形特征,同时需要空间想象力。一般计算极值时,考虑让图形处于极值状态,例如:相切、相等、最大等情况。

  三、利用极端假设求极值

  例题详解

全天北京pk10实时计划   【例4】(2017年联考)某单位准备扩建一矩形花圃,若将矩形花圃的长和宽各增加4米,则新矩形花圃的面积比原来的面积增加了40平方米。那么,原矩形花圃的周长是多少? ( )

  A. 12B. 24

  C. 32D. 40

  【答案】A

  【解析】利用通常解法,如下图所示,设矩形花圃的长为a,宽为b,将增加面积看做两个矩形,则增加的面积表示为:得到,矩形周长为

全天北京pk10实时计划   如果利用极端假设,因为题目中只给了增加的宽度和增加的面积,没有给原矩形边长的限定,所以假设原矩形的长为a,宽为0,则原矩形变为一条直线,增加部分即变为一个矩形,如下图所示:

全天北京pk10实时计划   则增加部分的面积表示为:,解得a=6,则原矩形周长为2a=12

全天北京pk10实时计划   【例5】有一周长为100米的长方形花园,在花园外围沿花园建一条等宽的环路,路的面积为600平方米,则路的宽度为( )米?

全天北京pk10实时计划   A. 3或4B. 5

  C. 8D. 10或15

  【答案】B

  【解析】普通解法将长方形的长和宽设为a和b,增加的环路宽为d,如下图所示,则原周长为:,增加的面积为,利用方程组解得d=5,这种方法求解比较麻烦;

  但若将矩形假设为边长相等的正方形,则如下图所示,此时正方形边长为25,环形路宽d

全天北京pk10实时计划   环形路的面积为:,解得d=5。

全天北京pk10实时计划   这种方法计算过程变得简单一点,但如果继续进行极端假设,将长方形假设为宽是0的两条重合线段,此时线段的长为50,则环形路的宽为2d,长为50+2d,如下图所示

全天北京pk10实时计划   则环形路的面积为,解得d=5,也可以用带入排除法计算,计算量变得更小。

  所以题中如果没有对图形的边长进行限定,利用极端假设,将图形变得简单,甚至变成线段。

全天北京pk10实时计划   以上就是几何问题中常见的极值问题,既需要我们对几何特性有所了解,也需要我们有空间想象力,对图形进行合理设定。

  本文【2020年吉林省考备考: 几何中的极值问题】来源于吉林华图,具体最终信息请以吉林华图为准!更多资讯请关注吉林华图微信公众号(jilinht)!

(编辑:李妮儿)

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